Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5640 / 1560
↖ ↑ ↗
← N 73.726594°
E 67.851563°		 ← 1 369.30 m → N 73.726594°
E 67.895508°		 →
↑
1 369.77 m
↓
↑
1 369.77 m
↓
N 73.714276°
E 67.851563°		 ← 1 370.31 m →
1 876 308 m²		 N 73.714276°
E 67.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68853759765625 y=0.19049072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68853759765625 × 213)
    floor (0.68853759765625 × 8192)
    floor (5640.5)     		tx = 5640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19049072265625 × 213)
    floor (0.19049072265625 × 8192)
    floor (1560.5)     		ty = 1560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5640 / 1560 ti = "13/5640/1560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5640/1560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5640 ÷ 213
    5640 ÷ 8192     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1560 ÷ 213
    1560 ÷ 8192     		y = 0.1904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1904296875 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9450876389834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9450876389834))-π/2
    2×atan(6.99424479667741)-π/2
    2×1.42878407530738-π/2
    2.85756815061476-1.57079632675     		φ = 1.28677182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28677182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.726594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5640 KachelY 1560 1.18423317 1.28677182 67.851563 73.726594
    Oben rechts KachelX + 1 5641 KachelY 1560 1.18500016 1.28677182 67.895508 73.726594
    Unten links KachelX 5640 KachelY + 1 1561 1.18423317 1.28655682 67.851563 73.714276
    Unten rechts KachelX + 1 5641 KachelY + 1 1561 1.18500016 1.28655682 67.895508 73.714276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28677182-1.28655682) × R
    0.000215000000000076 × 6371000     		dl = 1369.76500000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28677182-1.28655682) × R
    0.000215000000000076 × 6371000     		dr = 1369.76500000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18500016) × cos(1.28677182) × R
    0.000766990000000023 × 0.280221174249523 × 6371000     		do = 1369.29888768625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18500016) × cos(1.28655682) × R
    0.000766990000000023 × 0.280427553895908 × 6371000     		du = 1370.30736044351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28677182)-sin(1.28655682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280221174249523-0.280427553895908)×R²
    abs(1.18500016-1.18423317)×0.000206379646385368×R²
    0.000766990000000023×0.000206379646385368×6371000²
    0.000766990000000023×0.000206379646385368×40589641000000     		ar = 1876308.38346287m²