Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5648 / 11792
↖ ↑ ↗
← S 61.773123°
W 55.898437°		 ← 1 155.55 m → S 61.773123°
W 55.876465°		 →
↑
1 155.38 m
↓
↑
1 155.38 m
↓
S 61.783513°
W 55.898437°		 ← 1 155.16 m →
1 334 878 m²		 S 61.783513°
W 55.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344757080078125 y=0.719757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344757080078125 × 214)
    floor (0.344757080078125 × 16384)
    floor (5648.5)     		tx = 5648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719757080078125 × 214)
    floor (0.719757080078125 × 16384)
    floor (11792.5)     		ty = 11792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5648 / 11792 ti = "14/5648/11792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5648/11792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5648 ÷ 214
    5648 ÷ 16384     		x = 0.3447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11792 ÷ 214
    11792 ÷ 16384     		y = 0.7197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97561178} λ = -0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38058270905762))-π/2
    2×atan(0.251431998661621)-π/2
    2×0.246325971794247-π/2
    0.492651943588495-1.57079632675     		φ = -1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5648 KachelY 11792 -0.97561178 -1.07814438 -55.898437 -61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 5649 KachelY 11792 -0.97522829 -1.07814438 -55.876465 -61.773123
    Unten links KachelX 5648 KachelY + 1 11793 -0.97561178 -1.07832573 -55.898437 -61.783513
    Unten rechts KachelX + 1 5649 KachelY + 1 11793 -0.97522829 -1.07832573 -55.876465 -61.783513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07814438--1.07832573) × R
    0.00018135000000008 × 6371000     		dl = 1155.38085000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07814438--1.07832573) × R
    0.00018135000000008 × 6371000     		dr = 1155.38085000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97561178--0.97522829) × cos(-1.07814438) × R
    0.000383490000000042 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 1155.55295831756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97561178--0.97522829) × cos(-1.07832573) × R
    0.000383490000000042 × 0.472804338372219 × 6371000     		du = 1155.1625522873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07814438)-sin(-1.07832573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.472804338372219)×R²
    abs(-0.97522829--0.97561178)×0.000159791939646547×R²
    0.000383490000000042×0.000159791939646547×6371000²
    0.000383490000000042×0.000159791939646547×40589641000000     		ar = 1334878.22903521m²