Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5664 / 1632
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
E 68.906250°		 ← 1 443.67 m → N 72.816073°
E 68.950195°		 →
↑
1 444.18 m
↓
↑
1 444.18 m
↓
N 72.803086°
E 68.906250°		 ← 1 444.72 m →
2 085 675 m²		 N 72.803086°
E 68.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69146728515625 y=0.19927978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69146728515625 × 213)
    floor (0.69146728515625 × 8192)
    floor (5664.5)     		tx = 5664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19927978515625 × 213)
    floor (0.19927978515625 × 8192)
    floor (1632.5)     		ty = 1632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5664 / 1632 ti = "13/5664/1632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5664/1632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5664 ÷ 213
    5664 ÷ 8192     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1632 ÷ 213
    1632 ÷ 8192     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5664 KachelY 1632 1.20264094 1.27088023 68.906250 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 5665 KachelY 1632 1.20340793 1.27088023 68.950195 72.816073
    Unten links KachelX 5664 KachelY + 1 1633 1.20264094 1.27065355 68.906250 72.803086
    Unten rechts KachelX + 1 5665 KachelY + 1 1633 1.20340793 1.27065355 68.950195 72.803086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.27065355) × R
    0.000226679999999924 × 6371000     		dl = 1444.17827999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.27065355) × R
    0.000226679999999924 × 6371000     		dr = 1444.17827999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20340793) × cos(1.27088023) × R
    0.000766990000000023 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 1443.6658210811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20340793) × cos(1.27065355) × R
    0.000766990000000023 × 0.29565660353072 × 6371000     		du = 1444.7240092971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.27065355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.29565660353072)×R²
    abs(1.20340793-1.20264094)×0.000216553702870159×R²
    0.000766990000000023×0.000216553702870159×6371000²
    0.000766990000000023×0.000216553702870159×40589641000000     		ar = 2085674.93753309m²