Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5666 / 1570
↖ ↑ ↗
← N 73.602996°
E 68.994141°		 ← 1 379.41 m → N 73.602996°
E 69.038086°		 →
↑
1 379.89 m
↓
↑
1 379.89 m
↓
N 73.590586°
E 68.994141°		 ← 1 380.43 m →
1 904 148 m²		 N 73.590586°
E 69.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69171142578125 y=0.19171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69171142578125 × 213)
    floor (0.69171142578125 × 8192)
    floor (5666.5)     		tx = 5666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19171142578125 × 213)
    floor (0.19171142578125 × 8192)
    floor (1570.5)     		ty = 1570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5666 / 1570 ti = "13/5666/1570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5666/1570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5666 ÷ 213
    5666 ÷ 8192     		x = 0.691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1570 ÷ 213
    1570 ÷ 8192     		y = 0.191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691650390625 × 2 - 1) × π
    0.38330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20417492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191650390625 × 2 - 1) × π
    0.61669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93741773504419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20417492} λ = 1.20417492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93741773504419))-π/2
    2×atan(6.94080481270916)-π/2
    2×1.42770547562575-π/2
    2.85541095125151-1.57079632675     		φ = 1.28461462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20417492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28461462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.602996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5666 KachelY 1570 1.20417492 1.28461462 68.994141 73.602996
    Oben rechts KachelX + 1 5667 KachelY 1570 1.20494191 1.28461462 69.038086 73.602996
    Unten links KachelX 5666 KachelY + 1 1571 1.20417492 1.28439803 68.994141 73.590586
    Unten rechts KachelX + 1 5667 KachelY + 1 1571 1.20494191 1.28439803 69.038086 73.590586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28461462-1.28439803) × R
    0.000216589999999961 × 6371000     		dl = 1379.89488999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28461462-1.28439803) × R
    0.000216589999999961 × 6371000     		dr = 1379.89488999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20417492-1.20494191) × cos(1.28461462) × R
    0.000766990000000023 × 0.282291293418646 × 6371000     		do = 1379.41451111568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20417492-1.20494191) × cos(1.28439803) × R
    0.000766990000000023 × 0.282499067806856 × 6371000     		du = 1380.4297992695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28461462)-sin(1.28439803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282291293418646-0.282499067806856)×R²
    abs(1.20494191-1.20417492)×0.000207774388209625×R²
    0.000766990000000023×0.000207774388209625×6371000²
    0.000766990000000023×0.000207774388209625×40589641000000     		ar = 1904147.53799001m²