Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5696 / 1600
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 1 410.17 m → N 73.226700°
E 70.356445°		 →
↑
1 410.67 m
↓
↑
1 410.67 m
↓
N 73.214013°
E 70.312500°		 ← 1 411.21 m →
1 990 013 m²		 N 73.214013°
E 70.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69537353515625 y=0.19537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69537353515625 × 213)
    floor (0.69537353515625 × 8192)
    floor (5696.5)     		tx = 5696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19537353515625 × 213)
    floor (0.19537353515625 × 8192)
    floor (1600.5)     		ty = 1600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5696 / 1600 ti = "13/5696/1600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5696/1600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5696 ÷ 213
    5696 ÷ 8192     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1600 ÷ 213
    1600 ÷ 8192     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5696 KachelY 1600 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 5697 KachelY 1600 1.22795162 1.27804701 70.356445 73.226700
    Unten links KachelX 5696 KachelY + 1 1601 1.22718463 1.27782559 70.312500 73.214013
    Unten rechts KachelX + 1 5697 KachelY + 1 1601 1.22795162 1.27782559 70.356445 73.214013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27782559) × R
    0.000221420000000139 × 6371000     		dl = 1410.66682000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27782559) × R
    0.000221420000000139 × 6371000     		dr = 1410.66682000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.22795162) × cos(1.27804701) × R
    0.000766990000000023 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 1410.17187675273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.22795162) × cos(1.27782559) × R
    0.000766990000000023 × 0.288797649454284 × 6371000     		du = 1411.20777622617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27782559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.288797649454284)×R²
    abs(1.22795162-1.22718463)×0.000211992406817907×R²
    0.000766990000000023×0.000211992406817907×6371000²
    0.000766990000000023×0.000211992406817907×40589641000000     		ar = 1990013.33966963m²