Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5696 / 5696
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
E 70.312500°		 ← 2 637.98 m → S 57.326521°
E 70.356445°		 →
↑
2 637.15 m
↓
↑
2 637.15 m
↓
S 57.350237°
E 70.312500°		 ← 2 636.27 m →
6 954 491 m²		 S 57.350237°
E 70.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69537353515625 y=0.69537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69537353515625 × 213)
    floor (0.69537353515625 × 8192)
    floor (5696.5)     		tx = 5696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69537353515625 × 213)
    floor (0.69537353515625 × 8192)
    floor (5696.5)     		ty = 5696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5696 / 5696 ti = "13/5696/5696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5696/5696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5696 ÷ 213
    5696 ÷ 8192     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5696 ÷ 213
    5696 ÷ 8192     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5696 KachelY 5696 1.22718463 -1.00053654 70.312500 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 5697 KachelY 5696 1.22795162 -1.00053654 70.356445 -57.326521
    Unten links KachelX 5696 KachelY + 1 5697 1.22718463 -1.00095047 70.312500 -57.350237
    Unten rechts KachelX + 1 5697 KachelY + 1 5697 1.22795162 -1.00095047 70.356445 -57.350237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.00095047) × R
    0.000413930000000118 × 6371000     		dl = 2637.14803000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.00095047) × R
    0.000413930000000118 × 6371000     		dr = 2637.14803000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.22795162) × cos(-1.00053654) × R
    0.000766990000000023 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 2637.97704440157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.22795162) × cos(-1.00095047) × R
    0.000766990000000023 × 0.539502269008929 × 6371000     		du = 2636.27421745198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.00095047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.539502269008929)×R²
    abs(1.22795162-1.22718463)×0.000348476268876352×R²
    0.000766990000000023×0.000348476268876352×6371000²
    0.000766990000000023×0.000348476268876352×40589641000000     		ar = 6954490.76176114m²