Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5698 / 1602
↖ ↑ ↗
← N 73.201317°
E 70.400391°		 ← 1 412.24 m → N 73.201317°
E 70.444336°		 →
↑
1 412.77 m
↓
↑
1 412.77 m
↓
N 73.188612°
E 70.400391°		 ← 1 413.28 m →
1 995 908 m²		 N 73.188612°
E 70.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69561767578125 y=0.19561767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69561767578125 × 213)
    floor (0.69561767578125 × 8192)
    floor (5698.5)     		tx = 5698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19561767578125 × 213)
    floor (0.19561767578125 × 8192)
    floor (1602.5)     		ty = 1602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5698 / 1602 ti = "13/5698/1602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5698/1602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5698 ÷ 213
    5698 ÷ 8192     		x = 0.695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1602 ÷ 213
    1602 ÷ 8192     		y = 0.195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.695556640625 × 2 - 1) × π
    0.39111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.22871861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195556640625 × 2 - 1) × π
    0.60888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91287404243872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22871861} λ = 1.22871861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91287404243872))-π/2
    2×atan(6.77252537973129)-π/2
    2×1.42420016335233-π/2
    2.84840032670466-1.57079632675     		φ = 1.27760400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22871861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27760400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.201317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5698 KachelY 1602 1.22871861 1.27760400 70.400391 73.201317
    Oben rechts KachelX + 1 5699 KachelY 1602 1.22948560 1.27760400 70.444336 73.201317
    Unten links KachelX 5698 KachelY + 1 1603 1.22871861 1.27738225 70.400391 73.188612
    Unten rechts KachelX + 1 5699 KachelY + 1 1603 1.22948560 1.27738225 70.444336 73.188612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27760400-1.27738225) × R
    0.00022174999999991 × 6371000     		dl = 1412.76924999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27760400-1.27738225) × R
    0.00022174999999991 × 6371000     		dr = 1412.76924999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22871861-1.22948560) × cos(1.27760400) × R
    0.000766990000000023 × 0.289009790447721 × 6371000     		do = 1412.24440176714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22871861-1.22948560) × cos(1.27738225) × R
    0.000766990000000023 × 0.28922207041209 × 6371000     		du = 1413.28170638863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27760400)-sin(1.27738225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289009790447721-0.28922207041209)×R²
    abs(1.22948560-1.22871861)×0.0002122799643694×R²
    0.000766990000000023×0.0002122799643694×6371000²
    0.000766990000000023×0.0002122799643694×40589641000000     		ar = 1995908.20851718m²