Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5700 / 1604
↖ ↑ ↗
← N 73.175897°
E 70.488281°		 ← 1 414.32 m → N 73.175897°
E 70.532226°		 →
↑
1 414.87 m
↓
↑
1 414.87 m
↓
N 73.163173°
E 70.488281°		 ← 1 415.36 m →
2 001 816 m²		 N 73.163173°
E 70.532226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69586181640625 y=0.19586181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69586181640625 × 213)
    floor (0.69586181640625 × 8192)
    floor (5700.5)     		tx = 5700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19586181640625 × 213)
    floor (0.19586181640625 × 8192)
    floor (1604.5)     		ty = 1604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5700 / 1604 ti = "13/5700/1604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5700/1604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5700 ÷ 213
    5700 ÷ 8192     		x = 0.69580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1604 ÷ 213
    1604 ÷ 8192     		y = 0.19580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19580078125 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91134006165088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.23025259} λ = 1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91134006165088))-π/2
    2×atan(6.76214442004559)-π/2
    2×1.42397833278507-π/2
    2.84795666557014-1.57079632675     		φ = 1.27716034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27716034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5700 KachelY 1604 1.23025259 1.27716034 70.488281 73.175897
    Oben rechts KachelX + 1 5701 KachelY 1604 1.23101958 1.27716034 70.532226 73.175897
    Unten links KachelX 5700 KachelY + 1 1605 1.23025259 1.27693826 70.488281 73.163173
    Unten rechts KachelX + 1 5701 KachelY + 1 1605 1.23101958 1.27693826 70.532226 73.163173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27716034-1.27693826) × R
    0.000222079999999902 × 6371000     		dl = 1414.87167999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27716034-1.27693826) × R
    0.000222079999999902 × 6371000     		dr = 1414.87167999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.23025259-1.23101958) × cos(1.27716034) × R
    0.000766989999999801 × 0.289434489306181 × 6371000     		do = 1414.31968988886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.23025259-1.23101958) × cos(1.27693826) × R
    0.000766989999999801 × 0.289647056660048 × 6371000     		du = 1415.35839883721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27716034)-sin(1.27693826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289434489306181-0.289647056660048)×R²
    abs(1.23101958-1.23025259)×0.000212567353867599×R²
    0.000766989999999801×0.000212567353867599×6371000²
    0.000766989999999801×0.000212567353867599×40589641000000     		ar = 2001815.70385437m²