Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57216 / 8576
↖ ↑ ↗
← N 78.767792°
E134.296875°		 ← 118.99 m → N 78.767792°
E134.302368°		 →
↑
118.95 m
↓
↑
118.95 m
↓
N 78.766722°
E134.296875°		 ← 119 m →
14 154 m²		 N 78.766722°
E134.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873054504394531 y=0.130867004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873054504394531 × 216)
    floor (0.873054504394531 × 65536)
    floor (57216.5)     		tx = 57216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130867004394531 × 216)
    floor (0.130867004394531 × 65536)
    floor (8576.5)     		ty = 8576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57216 / 8576 ti = "16/57216/8576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57216/8576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57216 ÷ 216
    57216 ÷ 65536     		x = 0.873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8576 ÷ 216
    8576 ÷ 65536     		y = 0.130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873046875 × 2 - 1) × π
    0.74609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34392264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130859375 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3193789512168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34392264} λ = 2.34392264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3193789512168))-π/2
    2×atan(10.169356677908)-π/2
    2×1.4727768187408-π/2
    2.9455536374816-1.57079632675     		φ = 1.37475731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34392264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37475731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57216 KachelY 8576 2.34392264 1.37475731 134.296875 78.767792
    Oben rechts KachelX + 1 57217 KachelY 8576 2.34401852 1.37475731 134.302368 78.767792
    Unten links KachelX 57216 KachelY + 1 8577 2.34392264 1.37473864 134.296875 78.766722
    Unten rechts KachelX + 1 57217 KachelY + 1 8577 2.34401852 1.37473864 134.302368 78.766722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37475731-1.37473864) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dl = 118.94656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37475731-1.37473864) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dr = 118.94656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34392264-2.34401852) × cos(1.37475731) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194785755193382 × 6371000     		do = 118.985166842717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34392264-2.34401852) × cos(1.37473864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194804067550768 × 6371000     		du = 118.996352973328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37475731)-sin(1.37473864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194785755193382-0.194804067550768)×R²
    abs(2.34401852-2.34392264)×1.83123573861133e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.83123573861133e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.83123573861133e-05×40589641000000     		ar = 14153.5427529073m²