Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57344 / 8192
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E135.000000°		 ← 114.75 m → N 79.171334°
E135.005493°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
N 79.170303°
E135.000000°		 ← 114.76 m →
13 167 m²		 N 79.170303°
E135.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875007629394531 y=0.125007629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875007629394531 × 216)
    floor (0.875007629394531 × 65536)
    floor (57344.5)     		tx = 57344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125007629394531 × 216)
    floor (0.125007629394531 × 65536)
    floor (8192.5)     		ty = 8192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57344 / 8192 ti = "16/57344/8192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57344/8192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57344 ÷ 216
    57344 ÷ 65536     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8192 ÷ 216
    8192 ÷ 65536     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57344 KachelY 8192 2.35619449 1.38180046 135.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 57345 KachelY 8192 2.35629036 1.38180046 135.005493 79.171334
    Unten links KachelX 57344 KachelY + 1 8193 2.35619449 1.38178245 135.000000 79.170303
    Unten rechts KachelX + 1 57345 KachelY + 1 8193 2.35629036 1.38178245 135.005493 79.170303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.38178245) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.38178245) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.35629036) × cos(1.38180046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 114.750369996944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.35629036) × cos(1.38178245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187890426142822 × 6371000     		du = 114.761174388121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.38178245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187890426142822)×R²
    abs(2.35629036-2.35619449)×1.7689272294702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7689272294702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7689272294702e-05×40589641000000     		ar = 13167.2735341366m²