Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57346 / 122882
↖ ↑ ↗
← S 82.676985°
W 22.494507°		 ← 38.93 m → S 82.676985°
W 22.491760°		 →
↑
38.93 m
↓
↑
38.93 m
↓
S 82.677335°
W 22.494507°		 ← 38.93 m →
1 515 m²		 S 82.677335°
W 22.491760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437519073486328 y=0.937519073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437519073486328 × 217)
    floor (0.437519073486328 × 131072)
    floor (57346.5)     		tx = 57346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937519073486328 × 217)
    floor (0.937519073486328 × 131072)
    floor (122882.5)     		ty = 122882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57346 / 122882 ti = "17/57346/122882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57346/122882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57346 ÷ 217
    57346 ÷ 131072     		x = 0.437515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122882 ÷ 217
    122882 ÷ 131072     		y = 0.937515258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.875030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.74898944561174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39260321} λ = -0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74898944561174))-π/2
    2×atan(0.0639924964405911)-π/2
    2×0.0639053598349552-π/2
    0.12781071966991-1.57079632675     		φ = -1.44298561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44298561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57346 KachelY 122882 -0.39260321 -1.44298561 -22.494507 -82.676985
    Oben rechts KachelX + 1 57347 KachelY 122882 -0.39255527 -1.44298561 -22.491760 -82.676985
    Unten links KachelX 57346 KachelY + 1 122883 -0.39260321 -1.44299172 -22.494507 -82.677335
    Unten rechts KachelX + 1 57347 KachelY + 1 122883 -0.39255527 -1.44299172 -22.491760 -82.677335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44298561--1.44299172) × R
    6.1099999999481e-06 × 6371000     		dl = 38.9268099996694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44298561--1.44299172) × R
    6.1099999999481e-06 × 6371000     		dr = 38.9268099996694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39260321--0.39255527) × cos(-1.44298561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127463023887498 × 6371000     		do = 38.9304883934511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39260321--0.39255527) × cos(-1.44299172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127456963722414 × 6371000     		du = 38.928637463046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44298561)-sin(-1.44299172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127463023887498-0.127456963722414)×R²
    abs(-0.39255527--0.39260321)×6.06016508317153e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.06016508317153e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.06016508317153e-06×40589641000000     		ar = 1515.4036994934m²