Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57347 / 8191
↖ ↑ ↗
← N 79.172366°
E135.016479°		 ← 114.75 m → N 79.172366°
E135.021973°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
N 79.171334°
E135.016479°		 ← 114.76 m →
13 167 m²		 N 79.171334°
E135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875053405761719 y=0.124992370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875053405761719 × 216)
    floor (0.875053405761719 × 65536)
    floor (57347.5)     		tx = 57347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124992370605469 × 216)
    floor (0.124992370605469 × 65536)
    floor (8191.5)     		ty = 8191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57347 / 8191 ti = "16/57347/8191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57347/8191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57347 ÷ 216
    57347 ÷ 65536     		x = 0.875045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8191 ÷ 216
    8191 ÷ 65536     		y = 0.124984741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875045776367188 × 2 - 1) × π
    0.750091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35648211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124984741210938 × 2 - 1) × π
    0.750030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35629036392424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35648211} λ = 2.35648211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35629036392424))-π/2
    2×atan(10.5517356599804)-π/2
    2×1.47630740034377-π/2
    2.95261480068755-1.57079632675     		φ = 1.38181847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35648211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38181847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.172366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57347 KachelY 8191 2.35648211 1.38181847 135.016479 79.172366
    Oben rechts KachelX + 1 57348 KachelY 8191 2.35657799 1.38181847 135.021973 79.172366
    Unten links KachelX 57347 KachelY + 1 8192 2.35648211 1.38180046 135.016479 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 57348 KachelY + 1 8192 2.35657799 1.38180046 135.021973 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38181847-1.38180046) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38181847-1.38180046) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35648211-2.35657799) × cos(1.38181847) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187855047537294 × 6371000     		do = 114.751533813551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35648211-2.35657799) × cos(1.38180046) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 114.762339368937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38181847)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187855047537294-0.187872736870527)×R²
    abs(2.35657799-2.35648211)×1.76893332331229e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76893332331229e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76893332331229e-05×40589641000000     		ar = 13167.4071390867m²