Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57347 / 8197
↖ ↑ ↗
← N 79.166173°
E135.016479°		 ← 114.82 m → N 79.166173°
E135.021973°		 →
↑
114.81 m
↓
↑
114.81 m
↓
N 79.165141°
E135.016479°		 ← 114.83 m →
13 182 m²		 N 79.165141°
E135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875053405761719 y=0.125083923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875053405761719 × 216)
    floor (0.875053405761719 × 65536)
    floor (57347.5)     		tx = 57347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125083923339844 × 216)
    floor (0.125083923339844 × 65536)
    floor (8197.5)     		ty = 8197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57347 / 8197 ti = "16/57347/8197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57347/8197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57347 ÷ 216
    57347 ÷ 65536     		x = 0.875045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8197 ÷ 216
    8197 ÷ 65536     		y = 0.125076293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875045776367188 × 2 - 1) × π
    0.750091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35648211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125076293945312 × 2 - 1) × π
    0.749847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3557151211288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35648211} λ = 2.35648211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3557151211288))-π/2
    2×atan(10.5456675955351)-π/2
    2×1.47625335394693-π/2
    2.95250670789385-1.57079632675     		φ = 1.38171038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35648211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38171038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.166173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57347 KachelY 8197 2.35648211 1.38171038 135.016479 79.166173
    Oben rechts KachelX + 1 57348 KachelY 8197 2.35657799 1.38171038 135.021973 79.166173
    Unten links KachelX 57347 KachelY + 1 8198 2.35648211 1.38169236 135.016479 79.165141
    Unten rechts KachelX + 1 57348 KachelY + 1 8198 2.35657799 1.38169236 135.021973 79.165141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38171038-1.38169236) × R
    1.8019999999952e-05 × 6371000     		dl = 114.805419999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38171038-1.38169236) × R
    1.8019999999952e-05 × 6371000     		dr = 114.805419999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35648211-2.35657799) × cos(1.38171038) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187961212087795 × 6371000     		do = 114.816384586348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35648211-2.35657799) × cos(1.38169236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187978910876941 × 6371000     		du = 114.827195917892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38171038)-sin(1.38169236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187961212087795-0.187978910876941)×R²
    abs(2.35657799-2.35648211)×1.76987891455926e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76987891455926e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76987891455926e-05×40589641000000     		ar = 13182.1638552579m²