Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57348 / 24580
↖ ↑ ↗
← N 40.963308°
E135.021973°		 ← 461.22 m → N 40.963308°
E135.027466°		 →
↑
461.26 m
↓
↑
461.26 m
↓
N 40.959160°
E135.021973°		 ← 461.25 m →
212 751 m²		 N 40.959160°
E135.027466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875068664550781 y=0.375068664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875068664550781 × 216)
    floor (0.875068664550781 × 65536)
    floor (57348.5)     		tx = 57348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375068664550781 × 216)
    floor (0.375068664550781 × 65536)
    floor (24580.5)     		ty = 24580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57348 / 24580 ti = "16/57348/24580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57348/24580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57348 ÷ 216
    57348 ÷ 65536     		x = 0.87506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24580 ÷ 216
    24580 ÷ 65536     		y = 0.37506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87506103515625 × 2 - 1) × π
    0.7501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35657799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.78501466817804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35657799} λ = 2.35657799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78501466817804))-π/2
    2×atan(2.19243909958441)-π/2
    2×1.14287046153373-π/2
    2.28574092306747-1.57079632675     		φ = 0.71494460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35657799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71494460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.963308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57348 KachelY 24580 2.35657799 0.71494460 135.021973 40.963308
    Oben rechts KachelX + 1 57349 KachelY 24580 2.35667386 0.71494460 135.027466 40.963308
    Unten links KachelX 57348 KachelY + 1 24581 2.35657799 0.71487220 135.021973 40.959160
    Unten rechts KachelX + 1 57349 KachelY + 1 24581 2.35667386 0.71487220 135.027466 40.959160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71494460-0.71487220) × R
    7.24000000000835e-05 × 6371000     		dl = 461.260400000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71494460-0.71487220) × R
    7.24000000000835e-05 × 6371000     		dr = 461.260400000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35657799-2.35667386) × cos(0.71494460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755129561257668 × 6371000     		do = 461.223900781639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35657799-2.35667386) × cos(0.71487220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75517702295077 × 6371000     		du = 461.25288980333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71494460)-sin(0.71487220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755129561257668-0.75517702295077)×R²
    abs(2.35667386-2.35657799)×4.74616931018801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74616931018801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74616931018801e-05×40589641000000     		ar = 212751.006801028m²