Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57352 / 24600
↖ ↑ ↗
← N 40.880295°
E135.043945°		 ← 461.80 m → N 40.880295°
E135.049438°		 →
↑
461.83 m
↓
↑
461.83 m
↓
N 40.876141°
E135.043945°		 ← 461.83 m →
213 283 m²		 N 40.876141°
E135.049438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875129699707031 y=0.375373840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875129699707031 × 216)
    floor (0.875129699707031 × 65536)
    floor (57352.5)     		tx = 57352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375373840332031 × 216)
    floor (0.375373840332031 × 65536)
    floor (24600.5)     		ty = 24600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57352 / 24600 ti = "16/57352/24600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57352/24600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57352 ÷ 216
    57352 ÷ 65536     		x = 0.8751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24600 ÷ 216
    24600 ÷ 65536     		y = 0.3753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    0.750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35696148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35696148} λ = 2.35696148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783097192193237))-π/2
    2×atan(2.18823917817387)-π/2
    2×1.14214603516019-π/2
    2.28429207032038-1.57079632675     		φ = 0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35696148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57352 KachelY 24600 2.35696148 0.71349574 135.043945 40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 57353 KachelY 24600 2.35705735 0.71349574 135.049438 40.880295
    Unten links KachelX 57352 KachelY + 1 24601 2.35696148 0.71342325 135.043945 40.876141
    Unten rechts KachelX + 1 57353 KachelY + 1 24601 2.35705735 0.71342325 135.049438 40.876141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71349574-0.71342325) × R
    7.24900000000916e-05 × 6371000     		dl = 461.833790000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71349574-0.71342325) × R
    7.24900000000916e-05 × 6371000     		dr = 461.833790000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35696148-2.35705735) × cos(0.71349574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 461.803565448878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35696148-2.35705735) × cos(0.71342325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756126046911218 × 6371000     		du = 461.832542031808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71349574)-sin(0.71342325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.756126046911218)×R²
    abs(2.35705735-2.35696148)×4.74413279925034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74413279925034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74413279925034e-05×40589641000000     		ar = 213283.182143359m²