Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57354 / 8202
↖ ↑ ↗
← N 79.161010°
E135.054932°		 ← 114.86 m → N 79.161010°
E135.060425°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
N 79.159977°
E135.054932°		 ← 114.87 m →
13 194 m²		 N 79.159977°
E135.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875160217285156 y=0.125160217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875160217285156 × 216)
    floor (0.875160217285156 × 65536)
    floor (57354.5)     		tx = 57354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125160217285156 × 216)
    floor (0.125160217285156 × 65536)
    floor (8202.5)     		ty = 8202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57354 / 8202 ti = "16/57354/8202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57354/8202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57354 ÷ 216
    57354 ÷ 65536     		x = 0.875152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8202 ÷ 216
    8202 ÷ 65536     		y = 0.125152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875152587890625 × 2 - 1) × π
    0.75030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35715323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125152587890625 × 2 - 1) × π
    0.74969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3552357521326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35715323} λ = 2.35715323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3552357521326))-π/2
    2×atan(10.5406135409209)-π/2
    2×1.47620829195114-π/2
    2.95241658390228-1.57079632675     		φ = 1.38162026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35715323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38162026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.161010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57354 KachelY 8202 2.35715323 1.38162026 135.054932 79.161010
    Oben rechts KachelX + 1 57355 KachelY 8202 2.35724910 1.38162026 135.060425 79.161010
    Unten links KachelX 57354 KachelY + 1 8203 2.35715323 1.38160223 135.054932 79.159977
    Unten rechts KachelX + 1 57355 KachelY + 1 8203 2.35724910 1.38160223 135.060425 79.159977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38162026-1.38160223) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dl = 114.869130000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38162026-1.38160223) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dr = 114.869130000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35715323-2.35724910) × cos(1.38162026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18804972506625 × 6371000     		do = 114.858472222326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35715323-2.35724910) × cos(1.38160223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188067433371629 × 6371000     		du = 114.869288238678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38162026)-sin(1.38160223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18804972506625-0.188067433371629)×R²
    abs(2.35724910-2.35715323)×1.77083053787275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77083053787275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77083053787275e-05×40589641000000     		ar = 13194.3139907481m²