Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57356 / 24572
↖ ↑ ↗
← N 40.996484°
E135.065918°		 ← 460.99 m → N 40.996484°
E135.071411°		 →
↑
461.07 m
↓
↑
461.07 m
↓
N 40.992338°
E135.065918°		 ← 461.02 m →
212 556 m²		 N 40.992338°
E135.071411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875190734863281 y=0.374946594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875190734863281 × 216)
    floor (0.875190734863281 × 65536)
    floor (57356.5)     		tx = 57356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374946594238281 × 216)
    floor (0.374946594238281 × 65536)
    floor (24572.5)     		ty = 24572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57356 / 24572 ti = "16/57356/24572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57356/24572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57356 ÷ 216
    57356 ÷ 65536     		x = 0.87518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24572 ÷ 216
    24572 ÷ 65536     		y = 0.37493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87518310546875 × 2 - 1) × π
    0.7503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35734498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.78578165857196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35734498} λ = 2.35734498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78578165857196))-π/2
    2×atan(2.1941213243557)-π/2
    2×1.14315997728503-π/2
    2.28631995457006-1.57079632675     		φ = 0.71552363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35734498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71552363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.996484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57356 KachelY 24572 2.35734498 0.71552363 135.065918 40.996484
    Oben rechts KachelX + 1 57357 KachelY 24572 2.35744085 0.71552363 135.071411 40.996484
    Unten links KachelX 57356 KachelY + 1 24573 2.35734498 0.71545126 135.065918 40.992338
    Unten rechts KachelX + 1 57357 KachelY + 1 24573 2.35744085 0.71545126 135.071411 40.992338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71552363-0.71545126) × R
    7.23699999999328e-05 × 6371000     		dl = 461.069269999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71552363-0.71545126) × R
    7.23699999999328e-05 × 6371000     		dr = 461.069269999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35734498-2.35744085) × cos(0.71552363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754749836760443 × 6371000     		do = 460.991969702765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35734498-2.35744085) × cos(0.71545126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754797310424209 × 6371000     		du = 461.02096603599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71552363)-sin(0.71545126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754749836760443-0.754797310424209)×R²
    abs(2.35744085-2.35734498)×4.74736637653406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74736637653406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74736637653406e-05×40589641000000     		ar = 212555.915698272m²