Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57360 / 122896
↖ ↑ ↗
← S 82.681885°
W 22.456055°		 ← 38.90 m → S 82.681885°
W 22.453308°		 →
↑
38.93 m
↓
↑
38.93 m
↓
S 82.682235°
W 22.456055°		 ← 38.90 m →
1 514 m²		 S 82.682235°
W 22.453308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437625885009766 y=0.937625885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437625885009766 × 217)
    floor (0.437625885009766 × 131072)
    floor (57360.5)     		tx = 57360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937625885009766 × 217)
    floor (0.937625885009766 × 131072)
    floor (122896.5)     		ty = 122896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57360 / 122896 ti = "17/57360/122896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57360/122896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57360 ÷ 217
    57360 ÷ 131072     		x = 0.4376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122896 ÷ 217
    122896 ÷ 131072     		y = 0.9376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.74966056220642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39193209} λ = -0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74966056220642))-π/2
    2×atan(0.0639495644221012)-π/2
    2×0.0638626027908129-π/2
    0.127725205581626-1.57079632675     		φ = -1.44307112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44307112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.681885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57360 KachelY 122896 -0.39193209 -1.44307112 -22.456055 -82.681885
    Oben rechts KachelX + 1 57361 KachelY 122896 -0.39188415 -1.44307112 -22.453308 -82.681885
    Unten links KachelX 57360 KachelY + 1 122897 -0.39193209 -1.44307723 -22.456055 -82.682235
    Unten rechts KachelX + 1 57361 KachelY + 1 122897 -0.39188415 -1.44307723 -22.453308 -82.682235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44307112--1.44307723) × R
    6.11000000017015e-06 × 6371000     		dl = 38.926810001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44307112--1.44307723) × R
    6.11000000017015e-06 × 6371000     		dr = 38.926810001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39193209--0.39188415) × cos(-1.44307112) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.127378210899042 × 6371000     		do = 38.9045843237355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39193209--0.39188415) × cos(-1.44307723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.127372150667387 × 6371000     		du = 38.9027333729978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44307112)-sin(-1.44307723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127378210899042-0.127372150667387)×R²
    abs(-0.39188415--0.39193209)×6.06023165475311e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.06023165475311e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.06023165475311e-06×40589641000000     		ar = 1514.39533624875m²