Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57360 / 24591
↖ ↑ ↗
← N 40.917663°
E135.087891°		 ← 461.54 m → N 40.917663°
E135.093384°		 →
↑
461.58 m
↓
↑
461.58 m
↓
N 40.913512°
E135.087891°		 ← 461.57 m →
213 045 m²		 N 40.913512°
E135.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875251770019531 y=0.375236511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875251770019531 × 216)
    floor (0.875251770019531 × 65536)
    floor (57360.5)     		tx = 57360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375236511230469 × 216)
    floor (0.375236511230469 × 65536)
    floor (24591.5)     		ty = 24591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57360 / 24591 ti = "16/57360/24591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57360/24591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57360 ÷ 216
    57360 ÷ 65536     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24591 ÷ 216
    24591 ÷ 65536     		y = 0.375228881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375228881835938 × 2 - 1) × π
    0.249542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.783960056386398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783960056386398))-π/2
    2×atan(2.19012814625104)-π/2
    2×1.14247213962521-π/2
    2.28494427925042-1.57079632675     		φ = 0.71414795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71414795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.917663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57360 KachelY 24591 2.35772847 0.71414795 135.087891 40.917663
    Oben rechts KachelX + 1 57361 KachelY 24591 2.35782434 0.71414795 135.093384 40.917663
    Unten links KachelX 57360 KachelY + 1 24592 2.35772847 0.71407550 135.087891 40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 57361 KachelY + 1 24592 2.35782434 0.71407550 135.093384 40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71414795-0.71407550) × R
    7.24500000000017e-05 × 6371000     		dl = 461.578950000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71414795-0.71407550) × R
    7.24500000000017e-05 × 6371000     		dr = 461.578950000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35782434) × cos(0.71414795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755651585869104 × 6371000     		do = 461.542747029944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35782434) × cos(0.71407550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 461.571729440206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71414795)-sin(0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755651585869104-0.75569903673778)×R²
    abs(2.35782434-2.35772847)×4.74508686753028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74508686753028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74508686753028e-05×40589641000000     		ar = 213045.105482394m²