Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57376 / 122912
↖ ↑ ↗
← S 82.687480°
W 22.412109°		 ← 38.87 m → S 82.687480°
W 22.409363°		 →
↑
38.86 m
↓
↑
38.86 m
↓
S 82.687830°
W 22.412109°		 ← 38.87 m →
1 511 m²		 S 82.687830°
W 22.409363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437747955322266 y=0.937747955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437747955322266 × 217)
    floor (0.437747955322266 × 131072)
    floor (57376.5)     		tx = 57376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937747955322266 × 217)
    floor (0.937747955322266 × 131072)
    floor (122912.5)     		ty = 122912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57376 / 122912 ti = "17/57376/122912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57376/122912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57376 ÷ 217
    57376 ÷ 131072     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122912 ÷ 217
    122912 ÷ 131072     		y = 0.937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.87548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75042755260034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75042755260034))-π/2
    2×atan(0.0639005345256274)-π/2
    2×0.063813772435297-π/2
    0.127627544870594-1.57079632675     		φ = -1.44316878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44316878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.687480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57376 KachelY 122912 -0.39116510 -1.44316878 -22.412109 -82.687480
    Oben rechts KachelX + 1 57377 KachelY 122912 -0.39111716 -1.44316878 -22.409363 -82.687480
    Unten links KachelX 57376 KachelY + 1 122913 -0.39116510 -1.44317488 -22.412109 -82.687830
    Unten rechts KachelX + 1 57377 KachelY + 1 122913 -0.39111716 -1.44317488 -22.409363 -82.687830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44316878--1.44317488) × R
    6.10000000000888e-06 × 6371000     		dl = 38.8631000000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44316878--1.44317488) × R
    6.10000000000888e-06 × 6371000     		dr = 38.8631000000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39111716) × cos(-1.44316878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127281345808753 × 6371000     		do = 38.8749992318087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39111716) × cos(-1.44317488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127275295419796 × 6371000     		du = 38.8731512872844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44316878)-sin(-1.44317488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127281345808753-0.127275295419796)×R²
    abs(-0.39111716--0.39116510)×6.05038895648558e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.05038895648558e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.05038895648558e-06×40589641000000     		ar = 1510.7670742306m²