Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57392 / 24624
↖ ↑ ↗
← N 40.780542°
E135.263672°		 ← 462.55 m → N 40.780542°
E135.269165°		 →
↑
462.53 m
↓
↑
462.53 m
↓
N 40.776382°
E135.263672°		 ← 462.58 m →
213 951 m²		 N 40.776382°
E135.269165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875740051269531 y=0.375740051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875740051269531 × 216)
    floor (0.875740051269531 × 65536)
    floor (57392.5)     		tx = 57392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375740051269531 × 216)
    floor (0.375740051269531 × 65536)
    floor (24624.5)     		ty = 24624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57392 / 24624 ti = "16/57392/24624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57392/24624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57392 ÷ 216
    57392 ÷ 65536     		x = 0.875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24624 ÷ 216
    24624 ÷ 65536     		y = 0.375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    0.75146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36079643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36079643} λ = 2.36079643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.780796221011475))-π/2
    2×atan(2.1832098912272)-π/2
    2×1.14127552275496-π/2
    2.28255104550992-1.57079632675     		φ = 0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36079643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57392 KachelY 24624 2.36079643 0.71175472 135.263672 40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 57393 KachelY 24624 2.36089231 0.71175472 135.269165 40.780542
    Unten links KachelX 57392 KachelY + 1 24625 2.36079643 0.71168212 135.263672 40.776382
    Unten rechts KachelX + 1 57393 KachelY + 1 24625 2.36089231 0.71168212 135.269165 40.776382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71175472-0.71168212) × R
    7.25999999999782e-05 × 6371000     		dl = 462.534599999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71175472-0.71168212) × R
    7.25999999999782e-05 × 6371000     		dr = 462.534599999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36079643-2.36089231) × cos(0.71175472) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 462.547078284011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36079643-2.36089231) × cos(0.71168212) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.757264340981964 × 6371000     		du = 462.576043439754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71175472)-sin(0.71168212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757264340981964)×R²
    abs(2.36089231-2.36079643)×4.74176730214104e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74176730214104e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74176730214104e-05×40589641000000     		ar = 213950.726622402m²