Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57407 / 24639
↖ ↑ ↗
← N 40.718119°
E135.346069°		 ← 462.93 m → N 40.718119°
E135.351562°		 →
↑
462.98 m
↓
↑
462.98 m
↓
N 40.713956°
E135.346069°		 ← 462.96 m →
214 336 m²		 N 40.713956°
E135.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875968933105469 y=0.375968933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875968933105469 × 216)
    floor (0.875968933105469 × 65536)
    floor (57407.5)     		tx = 57407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375968933105469 × 216)
    floor (0.375968933105469 × 65536)
    floor (24639.5)     		ty = 24639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57407 / 24639 ti = "16/57407/24639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57407/24639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57407 ÷ 216
    57407 ÷ 65536     		x = 0.875961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24639 ÷ 216
    24639 ÷ 65536     		y = 0.375961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875961303710938 × 2 - 1) × π
    0.751922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36223454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375961303710938 × 2 - 1) × π
    0.248077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.779358114022873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36223454} λ = 2.36223454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779358114022873))-π/2
    2×atan(2.18007245834784)-π/2
    2×1.14073078758741-π/2
    2.28146157517482-1.57079632675     		φ = 0.71066525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36223454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.346069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71066525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.718119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57407 KachelY 24639 2.36223454 0.71066525 135.346069 40.718119
    Oben rechts KachelX + 1 57408 KachelY 24639 2.36233041 0.71066525 135.351562 40.718119
    Unten links KachelX 57407 KachelY + 1 24640 2.36223454 0.71059258 135.346069 40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 57408 KachelY + 1 24640 2.36233041 0.71059258 135.351562 40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71066525-0.71059258) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dl = 462.98056999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71066525-0.71059258) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dr = 462.98056999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36223454-2.36233041) × cos(0.71066525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757928075796935 × 6371000     		do = 462.933199236391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36223454-2.36233041) × cos(0.71059258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 462.962152659698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71066525)-sin(0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757928075796935-0.757975479207299)×R²
    abs(2.36233041-2.36223454)×4.7403410364244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7403410364244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7403410364244e-05×40589641000000     		ar = 214335.778985037m²