Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57408 / 24640
↖ ↑ ↗
← N 73.971078°
W 22.324219°		 ← 84.33 m → N 73.971078°
W 22.321472°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.970319°
W 22.324219°		 ← 84.34 m →
7 114 m²		 N 73.970319°
W 22.321472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437992095947266 y=0.187992095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437992095947266 × 217)
    floor (0.437992095947266 × 131072)
    floor (57408.5)     		tx = 57408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187992095947266 × 217)
    floor (0.187992095947266 × 131072)
    floor (24640.5)     		ty = 24640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57408 / 24640 ti = "17/57408/24640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57408/24640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57408 ÷ 217
    57408 ÷ 131072     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24640 ÷ 217
    24640 ÷ 131072     		y = 0.18798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18798828125 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96042744686182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96042744686182))-π/2
    2×atan(7.10236229888599)-π/2
    2×1.43091759141713-π/2
    2.86183518283426-1.57079632675     		φ = 1.29103886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29103886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.971078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57408 KachelY 24640 -0.38963112 1.29103886 -22.324219 73.971078
    Oben rechts KachelX + 1 57409 KachelY 24640 -0.38958318 1.29103886 -22.321472 73.971078
    Unten links KachelX 57408 KachelY + 1 24641 -0.38963112 1.29102562 -22.324219 73.970319
    Unten rechts KachelX + 1 57409 KachelY + 1 24641 -0.38958318 1.29102562 -22.321472 73.970319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29103886-1.29102562) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dl = 84.3520399994548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29103886-1.29102562) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dr = 84.3520399994548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38958318) × cos(1.29103886) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.276122552582718 × 6371000     		do = 84.334934953308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38958318) × cos(1.29102562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.276135277819562 × 6371000     		du = 84.3388215681875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29103886)-sin(1.29102562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276122552582718-0.276135277819562)×R²
    abs(-0.38958318--0.38963112)×1.27252368433139e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.27252368433139e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.27252368433139e-05×40589641000000     		ar = 7113.98772853246m²