Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57408 / 8255
↖ ↑ ↗
← N 79.106124°
E135.351562°		 ← 115.45 m → N 79.106124°
E135.357056°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
N 79.105086°
E135.351562°		 ← 115.46 m →
13 328 m²		 N 79.105086°
E135.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875984191894531 y=0.125968933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875984191894531 × 216)
    floor (0.875984191894531 × 65536)
    floor (57408.5)     		tx = 57408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125968933105469 × 216)
    floor (0.125968933105469 × 65536)
    floor (8255.5)     		ty = 8255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57408 / 8255 ti = "16/57408/8255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57408/8255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57408 ÷ 216
    57408 ÷ 65536     		x = 0.8759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8255 ÷ 216
    8255 ÷ 65536     		y = 0.125961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125961303710938 × 2 - 1) × π
    0.748077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35015444077287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36233041} λ = 2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35015444077287))-π/2
    2×atan(10.487189249277)-π/2
    2×1.47572932823682-π/2
    2.95145865647364-1.57079632675     		φ = 1.38066233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38066233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.106124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57408 KachelY 8255 2.36233041 1.38066233 135.351562 79.106124
    Oben rechts KachelX + 1 57409 KachelY 8255 2.36242629 1.38066233 135.357056 79.106124
    Unten links KachelX 57408 KachelY + 1 8256 2.36233041 1.38064421 135.351562 79.105086
    Unten rechts KachelX + 1 57409 KachelY + 1 8256 2.36242629 1.38064421 135.357056 79.105086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38066233-1.38064421) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38066233-1.38064421) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36233041-2.36242629) × cos(1.38066233) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188990478700693 × 6371000     		do = 115.445113620151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36233041-2.36242629) × cos(1.38064421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189008272127693 × 6371000     		du = 115.455982761369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38066233)-sin(1.38064421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188990478700693-0.189008272127693)×R²
    abs(2.36242629-2.36233041)×1.77934270000346e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77934270000346e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77934270000346e-05×40589641000000     		ar = 13327.9022186111m²