Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57412 / 24644
↖ ↑ ↗
← N 40.697299°
E135.373535°		 ← 463.08 m → N 40.697299°
E135.379028°		 →
↑
463.11 m
↓
↑
463.11 m
↓
N 40.693134°
E135.373535°		 ← 463.11 m →
214 462 m²		 N 40.693134°
E135.379028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876045227050781 y=0.376045227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876045227050781 × 216)
    floor (0.876045227050781 × 65536)
    floor (57412.5)     		tx = 57412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376045227050781 × 216)
    floor (0.376045227050781 × 65536)
    floor (24644.5)     		ty = 24644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57412 / 24644 ti = "16/57412/24644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57412/24644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57412 ÷ 216
    57412 ÷ 65536     		x = 0.87603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24644 ÷ 216
    24644 ÷ 65536     		y = 0.37603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87603759765625 × 2 - 1) × π
    0.7520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36271391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37603759765625 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.778878745026672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36271391} λ = 2.36271391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.778878745026672))-π/2
    2×atan(2.17902764964629)-π/2
    2×1.14054909557368-π/2
    2.28109819114735-1.57079632675     		φ = 0.71030186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36271391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71030186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.697299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57412 KachelY 24644 2.36271391 0.71030186 135.373535 40.697299
    Oben rechts KachelX + 1 57413 KachelY 24644 2.36280978 0.71030186 135.379028 40.697299
    Unten links KachelX 57412 KachelY + 1 24645 2.36271391 0.71022917 135.373535 40.693134
    Unten rechts KachelX + 1 57413 KachelY + 1 24645 2.36280978 0.71022917 135.379028 40.693134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71030186-0.71022917) × R
    7.26899999999864e-05 × 6371000     		dl = 463.107989999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71030186-0.71022917) × R
    7.26899999999864e-05 × 6371000     		dr = 463.107989999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36271391-2.36280978) × cos(0.71030186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758165078900614 × 6371000     		do = 463.07795783357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36271391-2.36280978) × cos(0.71022917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758212475332349 × 6371000     		du = 463.106906994415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71030186)-sin(0.71022917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758165078900614-0.758212475332349)×R²
    abs(2.36280978-2.36271391)×4.7396431735347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7396431735347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7396431735347e-05×40589641000000     		ar = 214461.805653633m²