Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57424 / 24656
↖ ↑ ↗
← N 40.647304°
E135.439453°		 ← 463.47 m → N 40.647304°
E135.444946°		 →
↑
463.49 m
↓
↑
463.49 m
↓
N 40.643135°
E135.439453°		 ← 463.50 m →
214 822 m²		 N 40.643135°
E135.444946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876228332519531 y=0.376228332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876228332519531 × 216)
    floor (0.876228332519531 × 65536)
    floor (57424.5)     		tx = 57424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376228332519531 × 216)
    floor (0.376228332519531 × 65536)
    floor (24656.5)     		ty = 24656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57424 / 24656 ti = "16/57424/24656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57424/24656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57424 ÷ 216
    57424 ÷ 65536     		x = 0.876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24656 ÷ 216
    24656 ÷ 65536     		y = 0.376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876220703125 × 2 - 1) × π
    0.75244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36386439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36386439} λ = 2.36386439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.777728259435791))-π/2
    2×atan(2.17652215127949)-π/2
    2×1.14011280300083-π/2
    2.28022560600167-1.57079632675     		φ = 0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36386439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57424 KachelY 24656 2.36386439 0.70942928 135.439453 40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 57425 KachelY 24656 2.36396027 0.70942928 135.444946 40.647304
    Unten links KachelX 57424 KachelY + 1 24657 2.36386439 0.70935653 135.439453 40.643135
    Unten rechts KachelX + 1 57425 KachelY + 1 24657 2.36396027 0.70935653 135.444946 40.643135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70942928-0.70935653) × R
    7.27500000000658e-05 × 6371000     		dl = 463.490250000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70942928-0.70935653) × R
    7.27500000000658e-05 × 6371000     		dr = 463.490250000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36386439-2.36396027) × cos(0.70942928) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 463.473644519803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36386439-2.36396027) × cos(0.70935653) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.75878115443696 × 6371000     		du = 463.502591185768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70942928)-sin(0.70935653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.75878115443696)×R²
    abs(2.36396027-2.36386439)×4.73874041616584e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.73874041616584e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.73874041616584e-05×40589641000000     		ar = 214822.223710633m²