Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57471 / 8319
↖ ↑ ↗
← N 79.039482°
E135.697632°		 ← 116.14 m → N 79.039482°
E135.703125°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 79.038438°
E135.697632°		 ← 116.15 m →
13 490 m²		 N 79.038438°
E135.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876945495605469 y=0.126945495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876945495605469 × 216)
    floor (0.876945495605469 × 65536)
    floor (57471.5)     		tx = 57471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126945495605469 × 216)
    floor (0.126945495605469 × 65536)
    floor (8319.5)     		ty = 8319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57471 / 8319 ti = "16/57471/8319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57471/8319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57471 ÷ 216
    57471 ÷ 65536     		x = 0.876937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8319 ÷ 216
    8319 ÷ 65536     		y = 0.126937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876937866210938 × 2 - 1) × π
    0.753875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36837046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126937866210938 × 2 - 1) × π
    0.746124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34401851762151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36837046} λ = 2.36837046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34401851762151))-π/2
    2×atan(10.4230376777989)-π/2
    2×1.47514776253139-π/2
    2.95029552506278-1.57079632675     		φ = 1.37949920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36837046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37949920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.039482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57471 KachelY 8319 2.36837046 1.37949920 135.697632 79.039482
    Oben rechts KachelX + 1 57472 KachelY 8319 2.36846634 1.37949920 135.703125 79.039482
    Unten links KachelX 57471 KachelY + 1 8320 2.36837046 1.37948097 135.697632 79.038438
    Unten rechts KachelX + 1 57472 KachelY + 1 8320 2.36846634 1.37948097 135.703125 79.038438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37949920-1.37948097) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37949920-1.37948097) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36837046-2.36846634) × cos(1.37949920) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190132519744271 × 6371000     		do = 116.142731081841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36837046-2.36846634) × cos(1.37948097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190150417168949 × 6371000     		du = 116.153663750193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37949920)-sin(1.37948097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190132519744271-0.190150417168949)×R²
    abs(2.36846634-2.36837046)×1.78974246776709e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78974246776709e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78974246776709e-05×40589641000000     		ar = 13489.8384218326m²