Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 575 / 63
↖ ↑ ↗
← N 82.720964°
E 22.148438°		 ← 4 953.01 m → N 82.720964°
E 22.500000°		 →
↑
4 968.11 m
↓
↑
4 968.11 m
↓
N 82.676285°
E 22.148438°		 ← 4 983.25 m →
24 682 212 m²		 N 82.676285°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56201171875 y=0.06201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56201171875 × 210)
    floor (0.56201171875 × 1024)
    floor (575.5)     		tx = 575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06201171875 × 210)
    floor (0.06201171875 × 1024)
    floor (63.5)     		ty = 63
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 575 / 63 ti = "10/575/63"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/575/63.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 575 ÷ 210
    575 ÷ 1024     		x = 0.5615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63 ÷ 210
    63 ÷ 1024     		y = 0.0615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5615234375 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615234375 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38656316} λ = 0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75502949496387))-π/2
    2×atan(15.7215046011753)-π/2
    2×1.50727475765697-π/2
    3.01454951531393-1.57079632675     		φ = 1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 575 KachelY 63 0.38656316 1.44375319 22.148438 82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 576 KachelY 63 0.39269908 1.44375319 22.500000 82.720964
    Unten links KachelX 575 KachelY + 1 64 0.38656316 1.44297339 22.148438 82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 576 KachelY + 1 64 0.39269908 1.44297339 22.500000 82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44375319-1.44297339) × R
    0.000779800000000108 × 6371000     		dl = 4968.10580000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44375319-1.44297339) × R
    0.000779800000000108 × 6371000     		dr = 4968.10580000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38656316-0.39269908) × cos(1.44375319) × R
    0.00613591999999996 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 4953.01477733461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38656316-0.39269908) × cos(1.44297339) × R
    0.00613591999999996 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 4983.25149433309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44375319)-sin(1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.127475144203388)×R²
    abs(0.39269908-0.38656316)×0.000773476888333208×R²
    0.00613591999999996×0.000773476888333208×6371000²
    0.00613591999999996×0.000773476888333208×40589641000000     		ar = 24682212.2980571m²