Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57599 / 24831
↖ ↑ ↗
← N 39.913950°
E136.400757°		 ← 468.48 m → N 39.913950°
E136.406250°		 →
↑
468.52 m
↓
↑
468.52 m
↓
N 39.909736°
E136.400757°		 ← 468.51 m →
219 500 m²		 N 39.909736°
E136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878898620605469 y=0.378898620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878898620605469 × 216)
    floor (0.878898620605469 × 65536)
    floor (57599.5)     		tx = 57599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378898620605469 × 216)
    floor (0.378898620605469 × 65536)
    floor (24831.5)     		ty = 24831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57599 / 24831 ti = "16/57599/24831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57599/24831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57599 ÷ 216
    57599 ÷ 65536     		x = 0.878890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24831 ÷ 216
    24831 ÷ 65536     		y = 0.378890991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878890991210938 × 2 - 1) × π
    0.757781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.38064231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378890991210938 × 2 - 1) × π
    0.242218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.760950344568771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38064231} λ = 2.38064231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760950344568771))-π/2
    2×atan(2.14030928559267)-π/2
    2×1.13371308299896-π/2
    2.26742616599792-1.57079632675     		φ = 0.69662984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38064231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.400757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69662984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.913950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57599 KachelY 24831 2.38064231 0.69662984 136.400757 39.913950
    Oben rechts KachelX + 1 57600 KachelY 24831 2.38073818 0.69662984 136.406250 39.913950
    Unten links KachelX 57599 KachelY + 1 24832 2.38064231 0.69655630 136.400757 39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 57600 KachelY + 1 24832 2.38073818 0.69655630 136.406250 39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69662984-0.69655630) × R
    7.35399999999276e-05 × 6371000     		dl = 468.523339999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69662984-0.69655630) × R
    7.35399999999276e-05 × 6371000     		dr = 468.523339999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38064231-2.38073818) × cos(0.69662984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767008956328976 × 6371000     		do = 468.479690006192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38064231-2.38073818) × cos(0.69655630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 468.508509334646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69662984)-sin(0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767008956328976-0.767056140195237)×R²
    abs(2.38073818-2.38064231)×4.71838662610136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71838662610136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71838662610136e-05×40589641000000     		ar = 219500.42044663m²