Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 576 / 577
↖ ↑ ↗
← S 22.268764°
E 22.500000°		 ← 36.176 km → S 22.268764°
E 22.851562°		 →
↑
36.134 km
↓
↑
36.134 km
↓
S 22.593726°
E 22.500000°		 ← 36.092 km →
1 305.68 km²		 S 22.593726°
E 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56298828125 y=0.56396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56298828125 × 210)
    floor (0.56298828125 × 1024)
    floor (576.5)     		tx = 576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56396484375 × 210)
    floor (0.56396484375 × 1024)
    floor (577.5)     		ty = 577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 576 / 577 ti = "10/576/577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/576/577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 576 ÷ 210
    576 ÷ 1024     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 577 ÷ 210
    577 ÷ 1024     		y = 0.5634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398835004838867))-π/2
    2×atan(0.671101420706162)-π/2
    2×0.591066536986947-π/2
    1.18213307397389-1.57079632675     		φ = -0.38866325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38866325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.268764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 576 KachelY 577 0.39269908 -0.38866325 22.500000 -22.268764
    Oben rechts KachelX + 1 577 KachelY 577 0.39883500 -0.38866325 22.851562 -22.268764
    Unten links KachelX 576 KachelY + 1 578 0.39269908 -0.39433491 22.500000 -22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 577 KachelY + 1 578 0.39883500 -0.39433491 22.851562 -22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38866325--0.39433491) × R
    0.00567165999999997 × 6371000     		dl = 36134.1458599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38866325--0.39433491) × R
    0.00567165999999997 × 6371000     		dr = 36134.1458599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39883500) × cos(-0.38866325) × R
    0.00613592000000002 × 0.925416450209737 × 6371000     		do = 36176.3301952441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39883500) × cos(-0.39433491) × R
    0.00613592000000002 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 36091.7290496748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38866325)-sin(-0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925416450209737-0.923252292281228)×R²
    abs(0.39883500-0.39269908)×0.00216415792850888×R²
    0.00613592000000002×0.00216415792850888×6371000²
    0.00613592000000002×0.00216415792850888×40589641000000     		ar = 1305675796.94128m²