Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 576 / 578
↖ ↑ ↗
← S 22.593726°
E 22.500000°		 ← 36.092 km → S 22.593726°
E 22.851562°		 →
↑
36.049 km
↓
↑
36.049 km
↓
S 22.917923°
E 22.500000°		 ← 36.006 km →
1 299.53 km²		 S 22.917923°
E 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56298828125 y=0.56494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56298828125 × 210)
    floor (0.56298828125 × 1024)
    floor (576.5)     		tx = 576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56494140625 × 210)
    floor (0.56494140625 × 1024)
    floor (578.5)     		ty = 578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 576 / 578 ti = "10/576/578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/576/578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 576 ÷ 210
    576 ÷ 1024     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 578 ÷ 210
    578 ÷ 1024     		y = 0.564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.564453125 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.404970927990234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.404970927990234))-π/2
    2×atan(0.666996201496694)-π/2
    2×0.588230708348179-π/2
    1.17646141669636-1.57079632675     		φ = -0.39433491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39433491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.593726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 576 KachelY 578 0.39269908 -0.39433491 22.500000 -22.593726
    Oben rechts KachelX + 1 577 KachelY 578 0.39883500 -0.39433491 22.851562 -22.593726
    Unten links KachelX 576 KachelY + 1 579 0.39269908 -0.39999321 22.500000 -22.917923
    Unten rechts KachelX + 1 577 KachelY + 1 579 0.39883500 -0.39999321 22.851562 -22.917923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39433491--0.39999321) × R
    0.0056583 × 6371000     		dl = 36049.0293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39433491--0.39999321) × R
    0.0056583 × 6371000     		dr = 36049.0293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39883500) × cos(-0.39433491) × R
    0.00613592000000002 × 0.923252292281228 × 6371000     		do = 36091.7290496748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39883500) × cos(-0.39999321) × R
    0.00613592000000002 × 0.921063638132197 × 6371000     		du = 36006.1702991679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39433491)-sin(-0.39999321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923252292281228-0.921063638132197)×R²
    abs(0.39883500-0.39269908)×0.00218865414903091×R²
    0.00613592000000002×0.00218865414903091×6371000²
    0.00613592000000002×0.00218865414903091×40589641000000     		ar = 1299533110.2425m²