Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5760 / 11904
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
W 53.437500°		 ← 1 112.44 m → S 62.915233°
W 53.415527°		 →
↑
1 112.19 m
↓
↑
1 112.19 m
↓
S 62.925235°
W 53.437500°		 ← 1 112.06 m →
1 237 034 m²		 S 62.925235°
W 53.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351593017578125 y=0.726593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351593017578125 × 214)
    floor (0.351593017578125 × 16384)
    floor (5760.5)     		tx = 5760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726593017578125 × 214)
    floor (0.726593017578125 × 16384)
    floor (11904.5)     		ty = 11904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5760 / 11904 ti = "14/5760/11904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5760/11904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5760 ÷ 214
    5760 ÷ 16384     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11904 ÷ 214
    11904 ÷ 16384     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5760 KachelY 11904 -0.93266032 -1.09807797 -53.437500 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 5761 KachelY 11904 -0.93227682 -1.09807797 -53.415527 -62.915233
    Unten links KachelX 5760 KachelY + 1 11905 -0.93266032 -1.09825254 -53.437500 -62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 5761 KachelY + 1 11905 -0.93227682 -1.09825254 -53.415527 -62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.09825254) × R
    0.000174569999999985 × 6371000     		dl = 1112.1854699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.09825254) × R
    0.000174569999999985 × 6371000     		dr = 1112.1854699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.93227682) × cos(-1.09807797) × R
    0.000383499999999981 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 1112.44475991736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.93227682) × cos(-1.09825254) × R
    0.000383499999999981 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 1112.06499497348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.455152777292286)×R²
    abs(-0.93227682--0.93266032)×0.000155432523917254×R²
    0.000383499999999981×0.000155432523917254×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155432523917254×40589641000000     		ar = 1237033.71677375m²