Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 577 / 1601
↖ ↑ ↗
← N 36.527295°
W129.287109°		 ← 7 853.31 m → N 36.527295°
W129.199219°		 →
↑
7 856.91 m
↓
↑
7 856.91 m
↓
N 36.456636°
W129.287109°		 ← 7 860.48 m →
61 730 919 m²		 N 36.456636°
W129.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1409912109375 y=0.3909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1409912109375 × 212)
    floor (0.1409912109375 × 4096)
    floor (577.5)     		tx = 577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3909912109375 × 212)
    floor (0.3909912109375 × 4096)
    floor (1601.5)     		ty = 1601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 577 / 1601 ti = "12/577/1601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/577/1601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 577 ÷ 212
    577 ÷ 4096     		x = 0.140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1601 ÷ 212
    1601 ÷ 4096     		y = 0.390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.71826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25648574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.685689412165283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25648574} λ = -2.25648574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.685689412165283))-π/2
    2×atan(1.98513994351468)-π/2
    2×1.10415894406982-π/2
    2.20831788813963-1.57079632675     		φ = 0.63752156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25648574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63752156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.527295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 577 KachelY 1601 -2.25648574 0.63752156 -129.287109 36.527295
    Oben rechts KachelX + 1 578 KachelY 1601 -2.25495176 0.63752156 -129.199219 36.527295
    Unten links KachelX 577 KachelY + 1 1602 -2.25648574 0.63628833 -129.287109 36.456636
    Unten rechts KachelX + 1 578 KachelY + 1 1602 -2.25495176 0.63628833 -129.199219 36.456636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63752156-0.63628833) × R
    0.00123323000000009 × 6371000     		dl = 7856.90833000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63752156-0.63628833) × R
    0.00123323000000009 × 6371000     		dr = 7856.90833000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25648574--2.25495176) × cos(0.63752156) × R
    0.00153398000000005 × 0.803573405937235 × 6371000     		do = 7853.31211226973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25648574--2.25495176) × cos(0.63628833) × R
    0.00153398000000005 × 0.804306820171228 × 6371000     		du = 7860.47975973612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63752156)-sin(0.63628833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.803573405937235-0.804306820171228)×R²
    abs(-2.25495176--2.25648574)×0.000733414233992868×R²
    0.00153398000000005×0.000733414233992868×6371000²
    0.00153398000000005×0.000733414233992868×40589641000000     		ar = 61730918.9511861m²