Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57860 / 25092
↖ ↑ ↗
← N 38.805470°
E137.834473°		 ← 475.97 m → N 38.805470°
E137.839966°		 →
↑
475.98 m
↓
↑
475.98 m
↓
N 38.801189°
E137.834473°		 ← 476 m →
226 559 m²		 N 38.801189°
E137.839966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882881164550781 y=0.382881164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882881164550781 × 216)
    floor (0.882881164550781 × 65536)
    floor (57860.5)     		tx = 57860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382881164550781 × 216)
    floor (0.382881164550781 × 65536)
    floor (25092.5)     		ty = 25092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57860 / 25092 ti = "16/57860/25092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57860/25092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57860 ÷ 216
    57860 ÷ 65536     		x = 0.88287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25092 ÷ 216
    25092 ÷ 65536     		y = 0.38287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88287353515625 × 2 - 1) × π
    0.7657470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.40566537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.735927282967102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40566537} λ = 2.40566537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735927282967102))-π/2
    2×atan(2.08741672131678)-π/2
    2×1.12403977497879-π/2
    2.24807954995757-1.57079632675     		φ = 0.67728322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40566537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67728322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.805470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57860 KachelY 25092 2.40566537 0.67728322 137.834473 38.805470
    Oben rechts KachelX + 1 57861 KachelY 25092 2.40576124 0.67728322 137.839966 38.805470
    Unten links KachelX 57860 KachelY + 1 25093 2.40566537 0.67720851 137.834473 38.801189
    Unten rechts KachelX + 1 57861 KachelY + 1 25093 2.40576124 0.67720851 137.839966 38.801189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67728322-0.67720851) × R
    7.47099999999223e-05 × 6371000     		dl = 475.977409999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67728322-0.67720851) × R
    7.47099999999223e-05 × 6371000     		dr = 475.977409999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40566537-2.40576124) × cos(0.67728322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779278139372293 × 6371000     		do = 475.973556956942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40566537-2.40576124) × cos(0.67720851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779324956326671 × 6371000     		du = 476.002152180104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67728322)-sin(0.67720851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779278139372293-0.779324956326671)×R²
    abs(2.40576124-2.40566537)×4.68169543776931e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68169543776931e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68169543776931e-05×40589641000000     		ar = 226559.466314165m²