Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57872 / 25104
↖ ↑ ↗
← N 38.754083°
E137.900391°		 ← 476.32 m → N 38.754083°
E137.905884°		 →
↑
476.36 m
↓
↑
476.36 m
↓
N 38.749799°
E137.900391°		 ← 476.35 m →
226 905 m²		 N 38.749799°
E137.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883064270019531 y=0.383064270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883064270019531 × 216)
    floor (0.883064270019531 × 65536)
    floor (57872.5)     		tx = 57872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383064270019531 × 216)
    floor (0.383064270019531 × 65536)
    floor (25104.5)     		ty = 25104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57872 / 25104 ti = "16/57872/25104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57872/25104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57872 ÷ 216
    57872 ÷ 65536     		x = 0.883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25104 ÷ 216
    25104 ÷ 65536     		y = 0.383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.883056640625 × 2 - 1) × π
    0.76611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.40681586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    0.23388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.734776797376221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40681586} λ = 2.40681586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734776797376221))-π/2
    2×atan(2.08501655939733)-π/2
    2×1.12359133926657-π/2
    2.24718267853315-1.57079632675     		φ = 0.67638635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40681586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67638635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.754083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57872 KachelY 25104 2.40681586 0.67638635 137.900391 38.754083
    Oben rechts KachelX + 1 57873 KachelY 25104 2.40691173 0.67638635 137.905884 38.754083
    Unten links KachelX 57872 KachelY + 1 25105 2.40681586 0.67631158 137.900391 38.749799
    Unten rechts KachelX + 1 57873 KachelY + 1 25105 2.40691173 0.67631158 137.905884 38.749799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67638635-0.67631158) × R
    7.47700000000018e-05 × 6371000     		dl = 476.359670000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67638635-0.67631158) × R
    7.47700000000018e-05 × 6371000     		dr = 476.359670000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40681586-2.40691173) × cos(0.67638635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779839874768796 × 6371000     		do = 476.316658067102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40681586-2.40691173) × cos(0.67631158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779886677042374 × 6371000     		du = 476.345244323411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67638635)-sin(0.67631158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779839874768796-0.779886677042374)×R²
    abs(2.40691173-2.40681586)×4.68022735781171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68022735781171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68022735781171e-05×40589641000000     		ar = 226904.854827911m²