Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57888 / 8736
↖ ↑ ↗
← N 78.595299°
E137.988281°		 ← 120.78 m → N 78.595299°
E137.993774°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
N 78.594213°
E137.988281°		 ← 120.79 m →
14 590 m²		 N 78.594213°
E137.993774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883308410644531 y=0.133308410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883308410644531 × 216)
    floor (0.883308410644531 × 65536)
    floor (57888.5)     		tx = 57888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133308410644531 × 216)
    floor (0.133308410644531 × 65536)
    floor (8736.5)     		ty = 8736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57888 / 8736 ti = "16/57888/8736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57888/8736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57888 ÷ 216
    57888 ÷ 65536     		x = 0.88330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8736 ÷ 216
    8736 ÷ 65536     		y = 0.13330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    0.7666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40834984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30403914333838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40834984} λ = 2.40834984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30403914333838))-π/2
    2×atan(10.014551079881)-π/2
    2×1.47127153713725-π/2
    2.94254307427449-1.57079632675     		φ = 1.37174675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40834984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37174675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.595299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57888 KachelY 8736 2.40834984 1.37174675 137.988281 78.595299
    Oben rechts KachelX + 1 57889 KachelY 8736 2.40844571 1.37174675 137.993774 78.595299
    Unten links KachelX 57888 KachelY + 1 8737 2.40834984 1.37172779 137.988281 78.594213
    Unten rechts KachelX + 1 57889 KachelY + 1 8737 2.40844571 1.37172779 137.993774 78.594213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37174675-1.37172779) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37174675-1.37172779) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40834984-2.40844571) × cos(1.37174675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197737763187749 × 6371000     		do = 120.775807422231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40834984-2.40844571) × cos(1.37172779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197756348786155 × 6371000     		du = 120.787159278435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37174675)-sin(1.37172779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197737763187749-0.197756348786155)×R²
    abs(2.40844571-2.40834984)×1.85855984061456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85855984061456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85855984061456e-05×40589641000000     		ar = 14589.6978254914m²