Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 580 / 572
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 23.906250°		 ← 36.585 km → S 20.632784°
E 24.257813°		 →
↑
36.545 km
↓
↑
36.545 km
↓
S 20.961440°
E 23.906250°		 ← 36.505 km →
1 335.53 km²		 S 20.961440°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56689453125 y=0.55908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56689453125 × 210)
    floor (0.56689453125 × 1024)
    floor (580.5)     		tx = 580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55908203125 × 210)
    floor (0.55908203125 × 1024)
    floor (572.5)     		ty = 572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 580 / 572 ti = "10/580/572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/580/572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 580 ÷ 210
    580 ÷ 1024     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 572 ÷ 210
    572 ÷ 1024     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 580 KachelY 572 0.41724277 -0.36011002 23.906250 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 581 KachelY 572 0.42337870 -0.36011002 24.257813 -20.632784
    Unten links KachelX 580 KachelY + 1 573 0.41724277 -0.36584614 23.906250 -20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 581 KachelY + 1 573 0.42337870 -0.36584614 24.257813 -20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.36584614) × R
    0.00573612000000001 × 6371000     		dl = 36544.8205200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.36584614) × R
    0.00573612000000001 × 6371000     		dr = 36544.8205200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.36011002) × R
    0.00613593000000001 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 36584.572699553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.36584614) × R
    0.00613593000000001 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 36504.9554463053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.933821397730396)×R²
    abs(0.42337870-0.41724277)×0.00203666307223682×R²
    0.00613593000000001×0.00203666307223682×6371000²
    0.00613593000000001×0.00203666307223682×40589641000000     		ar = 1335525505.90068m²