Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 580 / 581
↖ ↑ ↗
← S 23.563987°
E 23.906250°		 ← 35.832 km → S 23.563987°
E 24.257813°		 →
↑
35.788 km
↓
↑
35.788 km
↓
S 23.885838°
E 23.906250°		 ← 35.744 km →
1 280.79 km²		 S 23.885838°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56689453125 y=0.56787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56689453125 × 210)
    floor (0.56689453125 × 1024)
    floor (580.5)     		tx = 580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56787109375 × 210)
    floor (0.56787109375 × 1024)
    floor (581.5)     		ty = 581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 580 / 581 ti = "10/580/581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/580/581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 580 ÷ 210
    580 ÷ 1024     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 581 ÷ 210
    581 ÷ 1024     		y = 0.5673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423378697444336))-π/2
    2×atan(0.654830603474667)-π/2
    2×0.579763583258475-π/2
    1.15952716651695-1.57079632675     		φ = -0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 580 KachelY 581 0.41724277 -0.41126916 23.906250 -23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 581 KachelY 581 0.42337870 -0.41126916 24.257813 -23.563987
    Unten links KachelX 580 KachelY + 1 582 0.41724277 -0.41688651 23.906250 -23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 581 KachelY + 1 582 0.42337870 -0.41688651 24.257813 -23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41126916--0.41688651) × R
    0.00561734999999997 × 6371000     		dl = 35788.1368499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41126916--0.41688651) × R
    0.00561734999999997 × 6371000     		dr = 35788.1368499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.41126916) × R
    0.00613593000000001 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 35832.290925536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.41688651) × R
    0.00613593000000001 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 35743.938502691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41126916)-sin(-0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.91435407069783)×R²
    abs(0.42337870-0.41724277)×0.00226011460595754×R²
    0.00613593000000001×0.00226011460595754×6371000²
    0.00613593000000001×0.00226011460595754×40589641000000     		ar = 1280793314.90626m²