Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 580 / 68
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E 23.906250°		 ← 5 106.03 m → N 82.494824°
E 24.257813°		 →
↑
5 121.58 m
↓
↑
5 121.58 m
↓
N 82.448764°
E 23.906250°		 ← 5 137.19 m →
26 230 753 m²		 N 82.448764°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56689453125 y=0.06689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56689453125 × 210)
    floor (0.56689453125 × 1024)
    floor (580.5)     		tx = 580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06689453125 × 210)
    floor (0.06689453125 × 1024)
    floor (68.5)     		ty = 68
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 580 / 68 ti = "10/580/68"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/580/68.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 580 ÷ 210
    580 ÷ 1024     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68 ÷ 210
    68 ÷ 1024     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 580 KachelY 68 0.41724277 1.43980629 23.906250 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 581 KachelY 68 0.42337870 1.43980629 24.257813 82.494824
    Unten links KachelX 580 KachelY + 1 69 0.41724277 1.43900240 23.906250 82.448764
    Unten rechts KachelX + 1 581 KachelY + 1 69 0.42337870 1.43900240 24.257813 82.448764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43900240) × R
    0.000803890000000029 × 6371000     		dl = 5121.58319000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43900240) × R
    0.000803890000000029 × 6371000     		dr = 5121.58319000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(1.43980629) × R
    0.00613593000000001 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 5106.03266592833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(1.43900240) × R
    0.00613593000000001 × 0.131412722523038 × 6371000     		du = 5137.18746694021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43900240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.131412722523038)×R²
    abs(0.42337870-0.41724277)×0.000796960836446287×R²
    0.00613593000000001×0.000796960836446287×6371000²
    0.00613593000000001×0.000796960836446287×40589641000000     		ar = 26230753.4346103m²