Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5824 / 1472
↖ ↑ ↗
← N 74.775843°
E 75.937500°		 ← 1 283.17 m → N 74.775843°
E 75.981445°		 →
↑
1 283.63 m
↓
↑
1 283.63 m
↓
N 74.764299°
E 75.937500°		 ← 1 284.12 m →
1 647 729 m²		 N 74.764299°
E 75.981445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71099853515625 y=0.17974853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71099853515625 × 213)
    floor (0.71099853515625 × 8192)
    floor (5824.5)     		tx = 5824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17974853515625 × 213)
    floor (0.17974853515625 × 8192)
    floor (1472.5)     		ty = 1472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5824 / 1472 ti = "13/5824/1472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5824/1472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5824 ÷ 213
    5824 ÷ 8192     		x = 0.7109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1472 ÷ 213
    1472 ÷ 8192     		y = 0.1796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7109375 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.32535940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1796875 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01258279364844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.32535940} λ = 1.32535940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01258279364844))-π/2
    2×atan(7.48261847063995)-π/2
    2×1.43794049409873-π/2
    2.87588098819746-1.57079632675     		φ = 1.30508466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.32535940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 75.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30508466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.775843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5824 KachelY 1472 1.32535940 1.30508466 75.937500 74.775843
    Oben rechts KachelX + 1 5825 KachelY 1472 1.32612639 1.30508466 75.981445 74.775843
    Unten links KachelX 5824 KachelY + 1 1473 1.32535940 1.30488318 75.937500 74.764299
    Unten rechts KachelX + 1 5825 KachelY + 1 1473 1.32612639 1.30488318 75.981445 74.764299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30508466-1.30488318) × R
    0.000201479999999865 × 6371000     		dl = 1283.62907999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30508466-1.30488318) × R
    0.000201479999999865 × 6371000     		dr = 1283.62907999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.32535940-1.32612639) × cos(1.30508466) × R
    0.000766990000000023 × 0.262596026053888 × 6371000     		do = 1283.17371929303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.32535940-1.32612639) × cos(1.30488318) × R
    0.000766990000000023 × 0.26279042995619 × 6371000     		du = 1284.12367265717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30508466)-sin(1.30488318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262596026053888-0.26279042995619)×R²
    abs(1.32612639-1.32535940)×0.000194403902301854×R²
    0.000766990000000023×0.000194403902301854×6371000²
    0.000766990000000023×0.000194403902301854×40589641000000     		ar = 1647728.80023341m²