Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 58372 / 25604
↖ ↑ ↗
← N 36.580246°
E140.646973°		 ← 490.48 m → N 36.580246°
E140.652466°		 →
↑
490.50 m
↓
↑
490.50 m
↓
N 36.575835°
E140.646973°		 ← 490.50 m →
240 587 m²		 N 36.575835°
E140.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.890693664550781 y=0.390693664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.890693664550781 × 216)
    floor (0.890693664550781 × 65536)
    floor (58372.5)     		tx = 58372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390693664550781 × 216)
    floor (0.390693664550781 × 65536)
    floor (25604.5)     		ty = 25604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 58372 / 25604 ti = "16/58372/25604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/58372/25604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58372 ÷ 216
    58372 ÷ 65536     		x = 0.89068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25604 ÷ 216
    25604 ÷ 65536     		y = 0.39068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.89068603515625 × 2 - 1) × π
    0.7813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.45475276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.686839897756165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45475276} λ = 2.45475276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.686839897756165))-π/2
    2×atan(1.98742513270213)-π/2
    2×1.10462103558337-π/2
    2.20924207116675-1.57079632675     		φ = 0.63844574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45475276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63844574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.580246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58372 KachelY 25604 2.45475276 0.63844574 140.646973 36.580246
    Oben rechts KachelX + 1 58373 KachelY 25604 2.45484863 0.63844574 140.652466 36.580246
    Unten links KachelX 58372 KachelY + 1 25605 2.45475276 0.63836875 140.646973 36.575835
    Unten rechts KachelX + 1 58373 KachelY + 1 25605 2.45484863 0.63836875 140.652466 36.575835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63844574-0.63836875) × R
    7.69899999999435e-05 × 6371000     		dl = 490.50328999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63844574-0.63836875) × R
    7.69899999999435e-05 × 6371000     		dr = 490.50328999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45475276-2.45484863) × cos(0.63844574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.803022985676423 × 6371000     		do = 490.476618680033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45475276-2.45484863) × cos(0.63836875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.803068865337203 × 6371000     		du = 490.50464141573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63844574)-sin(0.63836875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.803022985676423-0.803068865337203)×R²
    abs(2.45484863-2.45475276)×4.58796607797352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58796607797352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58796607797352e-05×40589641000000     		ar = 240587.267871051m²