Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 584 / 712
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
E 25.312500°		 ← 21.104 km → S 57.326521°
E 25.664062°		 →
↑
21.049 km
↓
↑
21.049 km
↓
S 57.515823°
E 25.312500°		 ← 20.995 km →
443.078 km²		 S 57.515823°
E 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57080078125 y=0.69580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57080078125 × 210)
    floor (0.57080078125 × 1024)
    floor (584.5)     		tx = 584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69580078125 × 210)
    floor (0.69580078125 × 1024)
    floor (712.5)     		ty = 712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 584 / 712 ti = "10/584/712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/584/712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 584 ÷ 210
    584 ÷ 1024     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 712 ÷ 210
    712 ÷ 1024     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 584 KachelY 712 0.44178647 -1.00053654 25.312500 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 585 KachelY 712 0.44792239 -1.00053654 25.664062 -57.326521
    Unten links KachelX 584 KachelY + 1 713 0.44178647 -1.00384048 25.312500 -57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 585 KachelY + 1 713 0.44792239 -1.00384048 25.664062 -57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.00384048) × R
    0.00330394000000012 × 6371000     		dl = 21049.4017400007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.00384048) × R
    0.00330394000000012 × 6371000     		dr = 21049.4017400007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44792239) × cos(-1.00053654) × R
    0.00613592000000002 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 21103.816355212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44792239) × cos(-1.00384048) × R
    0.00613592000000002 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 20994.9816994373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.537066676792603)×R²
    abs(0.44792239-0.44178647)×0.00278406848520218×R²
    0.00613592000000002×0.00278406848520218×6371000²
    0.00613592000000002×0.00278406848520218×40589641000000     		ar = 443077659.565514m²