Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 584 / 72
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E 25.312500°		 ← 5 231.77 m → N 82.308893°
E 25.664062°		 →
↑
5 247.73 m
↓
↑
5 247.73 m
↓
N 82.261699°
E 25.312500°		 ← 5 263.68 m →
27 538 626 m²		 N 82.261699°
E 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57080078125 y=0.07080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57080078125 × 210)
    floor (0.57080078125 × 1024)
    floor (584.5)     		tx = 584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07080078125 × 210)
    floor (0.07080078125 × 1024)
    floor (72.5)     		ty = 72
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 584 / 72 ti = "10/584/72"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/584/72.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 584 ÷ 210
    584 ÷ 1024     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72 ÷ 210
    72 ÷ 1024     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 584 KachelY 72 0.44178647 1.43656118 25.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 585 KachelY 72 0.44792239 1.43656118 25.664062 82.308893
    Unten links KachelX 584 KachelY + 1 73 0.44178647 1.43573749 25.312500 82.261699
    Unten rechts KachelX + 1 585 KachelY + 1 73 0.44792239 1.43573749 25.664062 82.261699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43573749) × R
    0.000823690000000044 × 6371000     		dl = 5247.72899000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43573749) × R
    0.000823690000000044 × 6371000     		dr = 5247.72899000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44792239) × cos(1.43656118) × R
    0.00613592000000002 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 5231.76812314525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44792239) × cos(1.43573749) × R
    0.00613592000000002 × 0.134648612232741 × 6371000     		du = 5263.67632146483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43573749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.134648612232741)×R²
    abs(0.44792239-0.44178647)×0.000816234578303987×R²
    0.00613592000000002×0.000816234578303987×6371000²
    0.00613592000000002×0.000816234578303987×40589641000000     		ar = 27538625.5944594m²