Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5888 / 11008
↖ ↑ ↗
← S 52.482780°
W 50.625000°		 ← 1 487.92 m → S 52.482780°
W 50.603027°		 →
↑
1 487.69 m
↓
↑
1 487.69 m
↓
S 52.496160°
W 50.625000°		 ← 1 487.46 m →
2 213 227 m²		 S 52.496160°
W 50.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359405517578125 y=0.671905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359405517578125 × 214)
    floor (0.359405517578125 × 16384)
    floor (5888.5)     		tx = 5888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671905517578125 × 214)
    floor (0.671905517578125 × 16384)
    floor (11008.5)     		ty = 11008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5888 / 11008 ti = "14/5888/11008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5888/11008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5888 ÷ 214
    5888 ÷ 16384     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11008 ÷ 214
    11008 ÷ 16384     		y = 0.671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671875 × 2 - 1) × π
    -0.34375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07992247464063))-π/2
    2×atan(0.339621853930649)-π/2
    2×0.327399505668934-π/2
    0.654799011337869-1.57079632675     		φ = -0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5888 KachelY 11008 -0.88357293 -0.91599732 -50.625000 -52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 5889 KachelY 11008 -0.88318944 -0.91599732 -50.603027 -52.482780
    Unten links KachelX 5888 KachelY + 1 11009 -0.88357293 -0.91623083 -50.625000 -52.496160
    Unten rechts KachelX + 1 5889 KachelY + 1 11009 -0.88318944 -0.91623083 -50.603027 -52.496160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91599732--0.91623083) × R
    0.000233510000000048 × 6371000     		dl = 1487.6922100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91599732--0.91623083) × R
    0.000233510000000048 × 6371000     		dr = 1487.6922100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.88318944) × cos(-0.91599732) × R
    0.000383490000000042 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 1487.91740100176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.88318944) × cos(-0.91623083) × R
    0.000383490000000042 × 0.608814603971186 × 6371000     		du = 1487.46484479056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91599732)-sin(-0.91623083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.608814603971186)×R²
    abs(-0.88318944--0.88357293)×0.000185229809942955×R²
    0.000383490000000042×0.000185229809942955×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185229809942955×40589641000000     		ar = 2213226.50447604m²