Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5892 / 1284
↖ ↑ ↗
← N 76.800739°
E 78.925781°		 ← 1 115.77 m → N 76.800739°
E 78.969727°		 →
↑
1 116.20 m
↓
↑
1 116.20 m
↓
N 76.790701°
E 78.925781°		 ← 1 116.61 m →
1 245 891 m²		 N 76.790701°
E 78.969727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71929931640625 y=0.15679931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71929931640625 × 213)
    floor (0.71929931640625 × 8192)
    floor (5892.5)     		tx = 5892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15679931640625 × 213)
    floor (0.15679931640625 × 8192)
    floor (1284.5)     		ty = 1284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5892 / 1284 ti = "13/5892/1284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5892/1284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5892 ÷ 213
    5892 ÷ 8192     		x = 0.71923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1284 ÷ 213
    1284 ÷ 8192     		y = 0.15673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    0.4384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.37751475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    0.6865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15677698770557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37751475} λ = 1.37751475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15677698770557))-π/2
    2×atan(8.64323546389512)-π/2
    2×1.45561104258962-π/2
    2.91122208517924-1.57079632675     		φ = 1.34042576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37751475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34042576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5892 KachelY 1284 1.37751475 1.34042576 78.925781 76.800739
    Oben rechts KachelX + 1 5893 KachelY 1284 1.37828174 1.34042576 78.969727 76.800739
    Unten links KachelX 5892 KachelY + 1 1285 1.37751475 1.34025056 78.925781 76.790701
    Unten rechts KachelX + 1 5893 KachelY + 1 1285 1.37828174 1.34025056 78.969727 76.790701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34042576-1.34025056) × R
    0.000175199999999931 × 6371000     		dl = 1116.19919999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34042576-1.34025056) × R
    0.000175199999999931 × 6371000     		dr = 1116.19919999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37751475-1.37828174) × cos(1.34042576) × R
    0.000766990000000023 × 0.228338316309318 × 6371000     		do = 1115.77365049542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37751475-1.37828174) × cos(1.34025056) × R
    0.000766990000000023 × 0.228508884343658 × 6371000     		du = 1116.6071300507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34042576)-sin(1.34025056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228338316309318-0.228508884343658)×R²
    abs(1.37828174-1.37751475)×0.000170568034339597×R²
    0.000766990000000023×0.000170568034339597×6371000²
    0.000766990000000023×0.000170568034339597×40589641000000     		ar = 1245890.82385695m²