Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5896 / 776
↖ ↑ ↗
← N 81.038617°
E 79.101563°		 ← 761.16 m → N 81.038617°
E 79.145508°		 →
↑
761.46 m
↓
↑
761.46 m
↓
N 81.031769°
E 79.101563°		 ← 761.74 m →
579 816 m²		 N 81.031769°
E 79.145508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71978759765625 y=0.09478759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71978759765625 × 213)
    floor (0.71978759765625 × 8192)
    floor (5896.5)     		tx = 5896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09478759765625 × 213)
    floor (0.09478759765625 × 8192)
    floor (776.5)     		ty = 776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5896 / 776 ti = "13/5896/776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5896/776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5896 ÷ 213
    5896 ÷ 8192     		x = 0.7197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 776 ÷ 213
    776 ÷ 8192     		y = 0.0947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    0.439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.38058271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947265625 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.38058271} λ = 1.38058271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54640810781738))-π/2
    2×atan(12.7611845645141)-π/2
    2×1.49259350768986-π/2
    2.98518701537972-1.57079632675     		φ = 1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.38058271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 79.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5896 KachelY 776 1.38058271 1.41439069 79.101563 81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 5897 KachelY 776 1.38134970 1.41439069 79.145508 81.038617
    Unten links KachelX 5896 KachelY + 1 777 1.38058271 1.41427117 79.101563 81.031769
    Unten rechts KachelX + 1 5897 KachelY + 1 777 1.38134970 1.41427117 79.145508 81.031769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41439069-1.41427117) × R
    0.000119520000000151 × 6371000     		dl = 761.46192000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41439069-1.41427117) × R
    0.000119520000000151 × 6371000     		dr = 761.46192000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.38058271-1.38134970) × cos(1.41439069) × R
    0.000766989999999801 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 761.162862155872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.38058271-1.38134970) × cos(1.41427117) × R
    0.000766989999999801 × 0.155886791654559 × 6371000     		du = 761.739761419435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41439069)-sin(1.41427117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155886791654559)×R²
    abs(1.38134970-1.38058271)×0.000118059972525453×R²
    0.000766989999999801×0.000118059972525453×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118059972525453×40589641000000     		ar = 579816.178553033m²