Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 591 / 591
↖ ↑ ↗
← S 26.745610°
E 27.773438°		 ← 34.910 km → S 26.745610°
E 28.125000°		 →
↑
34.861 km
↓
↑
34.861 km
↓
S 27.059126°
E 27.773438°		 ← 34.813 km →
1 215.31 km²		 S 27.059126°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57763671875 y=0.57763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57763671875 × 210)
    floor (0.57763671875 × 1024)
    floor (591.5)     		tx = 591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57763671875 × 210)
    floor (0.57763671875 × 1024)
    floor (591.5)     		ty = 591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 591 / 591 ti = "10/591/591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/591/591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 591 ÷ 210
    591 ÷ 1024     		x = 0.5771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 591 ÷ 210
    591 ÷ 1024     		y = 0.5771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5771484375 × 2 - 1) × π
    0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5771484375 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48473793} λ = 0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.484737928958008))-π/2
    2×atan(0.615858574315461)-π/2
    2×0.551998682591159-π/2
    1.10399736518232-1.57079632675     		φ = -0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 591 KachelY 591 0.48473793 -0.46679896 27.773438 -26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 592 KachelY 591 0.49087385 -0.46679896 28.125000 -26.745610
    Unten links KachelX 591 KachelY + 1 592 0.48473793 -0.47227084 27.773438 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 592 KachelY + 1 592 0.49087385 -0.47227084 28.125000 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46679896--0.47227084) × R
    0.00547188000000004 × 6371000     		dl = 34861.3474800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46679896--0.47227084) × R
    0.00547188000000004 × 6371000     		dr = 34861.3474800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48473793-0.49087385) × cos(-0.46679896) × R
    0.00613592000000002 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 34909.632874748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48473793-0.49087385) × cos(-0.47227084) × R
    0.00613592000000002 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 34812.8464135318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46679896)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.890537558006442)×R²
    abs(0.49087385-0.48473793)×0.00247586703470626×R²
    0.00613592000000002×0.00247586703470626×6371000²
    0.00613592000000002×0.00247586703470626×40589641000000     		ar = 1215312821.17388m²