Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 592 / 1616
↖ ↑ ↗
← N 35.460670°
W127.968750°		 ← 7 960.23 m → N 35.460670°
W127.880860°		 →
↑
7 963.81 m
↓
↑
7 963.81 m
↓
N 35.389050°
W127.968750°		 ← 7 967.31 m →
63 422 023 m²		 N 35.389050°
W127.880860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1446533203125 y=0.3946533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1446533203125 × 212)
    floor (0.1446533203125 × 4096)
    floor (592.5)     		tx = 592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3946533203125 × 212)
    floor (0.3946533203125 × 4096)
    floor (1616.5)     		ty = 1616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 592 / 1616 ti = "12/592/1616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/592/1616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 592 ÷ 212
    592 ÷ 4096     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1616 ÷ 212
    1616 ÷ 4096     		y = 0.39453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39453125 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.662679700347656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.662679700347656))-π/2
    2×atan(1.93998395097488)-π/2
    2×1.09485088619804-π/2
    2.18970177239608-1.57079632675     		φ = 0.61890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.61890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 35.460670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 592 KachelY 1616 -2.23347603 0.61890545 -127.968750 35.460670
    Oben rechts KachelX + 1 593 KachelY 1616 -2.23194205 0.61890545 -127.880860 35.460670
    Unten links KachelX 592 KachelY + 1 1617 -2.23347603 0.61765544 -127.968750 35.389050
    Unten rechts KachelX + 1 593 KachelY + 1 1617 -2.23194205 0.61765544 -127.880860 35.389050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.61890545-0.61765544) × R
    0.00125001000000002 × 6371000     		dl = 7963.81371000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.61890545-0.61765544) × R
    0.00125001000000002 × 6371000     		dr = 7963.81371000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23194205) × cos(0.61890545) × R
    0.00153398000000005 × 0.81451394104121 × 6371000     		do = 7960.2338150189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23194205) × cos(0.61765544) × R
    0.00153398000000005 × 0.81523849028218 × 6371000     		du = 7967.31482502744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.61890545)-sin(0.61765544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81451394104121-0.81523849028218)×R²
    abs(-2.23194205--2.23347603)×0.000724549240969874×R²
    0.00153398000000005×0.000724549240969874×6371000²
    0.00153398000000005×0.000724549240969874×40589641000000     		ar = 63422023.3713605m²