Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59392 / 10240
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E146.250000°		 ← 139.05 m → N 76.840817°
E146.255493°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
N 76.839566°
E146.250000°		 ← 139.06 m →
19 340 m²		 N 76.839566°
E146.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906257629394531 y=0.156257629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906257629394531 × 216)
    floor (0.906257629394531 × 65536)
    floor (59392.5)     		tx = 59392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156257629394531 × 216)
    floor (0.156257629394531 × 65536)
    floor (10240.5)     		ty = 10240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59392 / 10240 ti = "16/59392/10240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59392/10240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59392 ÷ 216
    59392 ÷ 65536     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10240 ÷ 216
    10240 ÷ 65536     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59392 KachelY 10240 2.55254403 1.34112525 146.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 59393 KachelY 10240 2.55263990 1.34112525 146.255493 76.840817
    Unten links KachelX 59392 KachelY + 1 10241 2.55254403 1.34110342 146.250000 76.839566
    Unten rechts KachelX + 1 59393 KachelY + 1 10241 2.55263990 1.34110342 146.255493 76.839566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.34110342) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dl = 139.078929999296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.34110342) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dr = 139.078929999296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55263990) × cos(1.34112525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 139.050263891265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55263990) × cos(1.34110342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227678506456093 × 6371000     		du = 139.063247235245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.34110342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227678506456093)×R²
    abs(2.55263990-2.55254403)×2.12567189747659e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12567189747659e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12567189747659e-05×40589641000000     		ar = 19339.864773822m²