Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59392 / 26624
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
W 16.875000°		 ← 92.37 m → N 72.395706°
W 16.872253°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
N 72.394875°
W 16.875000°		 ← 92.38 m →
8 534 m²		 N 72.394875°
W 16.872253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453128814697266 y=0.203128814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453128814697266 × 217)
    floor (0.453128814697266 × 131072)
    floor (59392.5)     		tx = 59392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203128814697266 × 217)
    floor (0.203128814697266 × 131072)
    floor (26624.5)     		ty = 26624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59392 / 26624 ti = "17/59392/26624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59392/26624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59392 ÷ 217
    59392 ÷ 131072     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26624 ÷ 217
    26624 ÷ 131072     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59392 KachelY 26624 -0.29452431 1.26354343 -16.875000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 59393 KachelY 26624 -0.29447637 1.26354343 -16.872253 72.395706
    Unten links KachelX 59392 KachelY + 1 26625 -0.29452431 1.26352893 -16.875000 72.394875
    Unten rechts KachelX + 1 59393 KachelY + 1 26625 -0.29447637 1.26352893 -16.872253 72.394875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.26352893) × R
    1.44999999998063e-05 × 6371000     		dl = 92.3794999987662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.26352893) × R
    1.44999999998063e-05 × 6371000     		dr = 92.3794999987662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29447637) × cos(1.26354343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 92.3733670397227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29447637) × cos(1.26352893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.302455150962665 × 6371000     		du = 92.3775882996301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.26352893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.302455150962665)×R²
    abs(-0.29447637--0.29452431)×1.38209042481741e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.38209042481741e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.38209042481741e-05×40589641000000     		ar = 8533.60043925584m²